mirskontsa: June 2019

Wednesday, June 26, 2019

История всего

Надо где-то собрать историю всего, может правда уже где-то есть такое, но не знаю как гуглить.
Соберу по ссылкам сначала:
https://ru.wikipedia.org/wiki/История_Вселенной
https://en.wikipedia.org/wiki/Geologic_time_scale

хотя вот есть милая диаграмма
https://www.sciencealert.com/timeline-shows-the-entire-history-of-the-universe-and-how-it-ends

Tuesday, June 11, 2019

Вложение графа Петерсена на торе, часть 2

Узнал из статьи Tim Hsu
Identifying congruence subgroups of the modular group
что можно по перестановкам полурёбер и вершин узнать явно,
будет ли порождаемая подгруппа - конгруэнц, или не будет

пример для графа Петерсена:
E=(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30)
V=(1,3,5)(4,7,9)(10,11,13)(15,14,17)(6,16,19)(2,21,23)(8,27,25)(12,29,24)(18,22,28)(20,30,26)

тогда

L=E * V^-1

1->23->29->20->16->17->28->8->4->

2->5->19->26->27->22->

3->9->13->15->6->

7->25->30->12->10->

11->24->21->18->14->

типа грани

R=E * V

1->21->28->25->20->6->

2->3->7->27->18->15->19->30->24->

4->5->16->14->10->

8->9->11->29->26->

12->13->17->22->23->

те же грани, только в другую сторону обходим

дальше считаем магические числа

N = 90 = 2 * 45 = e * m

1/2 mod 45 = 23

1/5 mod 2 = 1

c: mod e = 0, mod m = 1

то есть c чётно, c = 46

d: mod e = 1, mod m = 0

d нечётно, d = 45

a = L^c, b=R^c, l=L^d, r=R^d

s = l^20 * r ^ 1 * l ^ {-4} * r ^ {-1}

[x,y]=x^-1 y^-1 x y

одно из первых условий того, что мы получим конгруэнц-подгруппу - a commutes with r, то есть

[a,r]=1

можно проверить в системе GAP, что ar и ra дают разные перестановки

Значит, вложение Петерсена не порождает конгруэнц-подгруппу

Monday, June 10, 2019

Вложение графа Петерсена на торе, часть 1

считаю класс смежности подгруппы Гекке
для вложения графа Петерсена в Риманову поверхность с родом 1

TODO: это же какая-то подгруппа модулярной группы? у неё есть какие-то свойства (например, арифметичность)?

TODO
у октаэдра есть генератор вида
x*y^-1*x*y*x*y*x^-1*y^-2*x^-1
особенность, что тут два раза подряд y^-1 (в виде y^-2)
в генераторах вложения графа Петерсена я такого не заметил, (x или x^-1) чередуются с (y или y^-1)
интересно проверить для других вложений

f:=FreeGroup("x", "y");
H3:=f/[f.1^2,f.2^3];
hom:=GroupHomomorphismByImages(H3,Group(
(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30),
(1,3,5)(4,7,9)(10,11,13)(15,14,17)(6,16,19)(2,21,23)(8,27,25)(12,29,24)(18,22,28)(20,30,26)),
GeneratorsOfGroup(H3),
[(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30),
(1,3,5)(4,7,9)(10,11,13)(15,14,17)(6,16,19)(2,21,23)(8,27,25)(12,29,24)(18,22,28)(20,30,26)]);

petersen_group:=PreImage(hom,Stabilizer(Image(hom),1));
iso:=IsomorphismFpGroup(petersen_group);

[ <[ [ 1, 1 ] ]|(y*x)^2*y*(x^-1*y^-1)^2*x^-1>,
<[ [ 2, 1 ] ]|y*x*y^-1*x*y*x^-1*y^-1*x^-1*y*x^-1>,
<[ [ 3, 1 ] ]|y^-1*x*y*x*y^-1*x^-1*y*x^-1*y^-1*x^-1>,
<[ [ 4, 1 ] ]|(y^-1*x)^2*(y*x^-1)^3>,
<[ [ 5, 1 ] ]|(y*x)^2*y^-1*x*(y*x^-1)^2*y>,
<[ [ 6, 1 ] ]|y*(x*y^-1)^3*x^-1*y^-1*x^-1*y>
] -> [ F1, F2, F3, F4, F5, F6 ]

x =
0 -1
1 0

y =
0 -1
1 1

(y*x)^2*y*(x^-1*y^-1)^2*x^-1
F1 = (y@x)@(y@x)@y@(xi@yi)@(xi@yi)@xi
1 -2
-3 7

y*x*y^-1*x*y*x^-1*y^-1*x^-1*y*x^-1
F2 = y@x@yi@x@y@xi@yi@xi@y@xi
5 -3
-8 5

y^-1*x*y*x*y^-1*x^-1*y*x^-1*y^-1*x^-1
F3 = yi@x@y@x@yi@xi@y@xi@yi@xi
-5 8
3 -5

(y^-1*x)^2*(y*x^-1)^3
F4 = (yi@x)@(yi@x)@(y@xi)@(y@xi)@(y@xi)
7 -2
-3 1

(y*x)^2*y^-1*x*(y*x^-1)^2*y
F5 = (y@x)@(y@x)@yi@x@(y@xi)@(y@xi)@y
-1 -4
3 11

y*(x*y^-1)^3*x^-1*y^-1*x^-1*y
F6 = y@(x@yi)@(x@yi)@(x@yi)@xi@yi@xi@y
4 5
-5 -6

f:=FreeGroup("x", "y");
H3:=f/[f.1^2,f.2^3];
hom:=GroupHomomorphismByImages(H3,Group(
(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30),
(1,19,18)(2,3,29)(4,5,26)(6,7,22)(8,9,28)(10,11,30)(12,13,24)(14,15,25)(16,17,27)(20,23,21)),
GeneratorsOfGroup(H3),
[(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30),
(1,19,18)(2,3,29)(4,5,26)(6,7,22)(8,9,28)(10,11,30)(12,13,24)(14,15,25)(16,17,27)(20,23,21)]);

petersen_group:=PreImage(hom,Stabilizer(Image(hom),1));
iso:=IsomorphismFpGroup(petersen_group);

[ <[ [ 1, 1 ] ]|(y*x)^2*(y*x^-1)^3>,
<[ [ 2, 1 ] ]|y*x*y^-1*x*y*(x^-1*y^-1)^2*x^-1>,
<[ [ 3, 1 ] ]|y^-1*x*y*x*(y^-1*x^-1)^2*y*x^-1>,
<[ [ 4, 1 ] ]|(y^-1*x)^2*(y*x^-1)^2*y^-1*x^-1>,
<[ [ 5, 1 ] ]|(y*x)^2*y^-1*x*(y*x^-1)^2*y>,
<[ [ 6, 1 ] ]|y*(x*y^-1)^3*x^-1*y^-1*x^-1*y> ]
-> [ F1, F2, F3, F4, F5, F6 ]

F1 = (y@x)@(y@x)@(y@xi)@(y@xi)@(y@xi)
1 0
-5 1
F2 = y@x@yi@x@y@(xi@yi)@(xi@yi)@xi
-2 5
3 -8
F3 = yi@x@y@x@(yi@xi)@(yi@xi)@y@xi
-7 5
4 -3
F4 = (yi@x)@(yi@x)@(y@xi)@(y@xi)@yi@xi
-5 7
2 -3
F5 = (y@x)@(y@x)@yi@x@(y@xi)@(y@xi)@y
-1 -4
3 11
F6 = y@(x@yi)@(x@yi)@(x@yi)@xi@yi@xi@y
4 5
-5 -6

пояснение к алгоритму из статьи
He Y-H and Read J (2015) Hecke Groups, Dessins d’Enfants, and the Archimedean Solids. Front. Phys. 3:91. doi: 10.3389/fphy.2015.00091

We can find the generators for a representative of all the conjugacy classes of subgroups of interest using GAP [6, 31].

First, we use the permutation data σ_0, σ_1 obtained from each of the Schreier coset graphs (in turn obtained from each of the dessins) to find the group homomorphism by images between the relevant Hecke group and a representative of the conjugacy class of subgroups of interest.
We then use this to define the representative in question.
Finally, we use the GAP command IsomorphismFpGroup(G), which returns an isomorphism from the given representative to a finitely presented group isomorphic to that representative. This function first chooses a set of generators of the representative and then computes a presentation in terms of these generators.

mirskontsa