5cdc/nz5 => 33pp

В этом посте пытаюсь разобраться в том, можно ли по 5cdc решению или по nz5 потоку построить какой-нибудь (3,3)-parity-pair flow-cover.

О чём речь:

• todo: картинка для 33pp
• todo: картинка для получающегося 5cdc (который не o5cdc)
• todo: картинка для получающегося nz5

todo: проверить, какие nz5 мы получаем из всего набора 33pp

Дальше: рассмотрим табличку из статьи Dezheng Xie и Cun-Quan Zhang (Flows, flow-pair covers and cycle double covers):

f1	f2	nz5
0	±2	±1
±2	0	±3
±2	±2	±2 или ±4
±1	±1	±2 или ±1

А в (3,3)-edp имеем пары:

• 0, 2
• 0, 1
• 1, 1
• 1, 0
• 2, 0

Сразу видим отсюда, что:

• по ±4 в nz5 мы сразу можем восстановить местоположение для пар (f1, f2) вида (±2, ±2) и то что они сонаправленны
• по ±3 мы можем только сказать, что неупорядоченно имеем пару (±2, 0)
• по ±2 мы можем понять, что f1 совпадает с f2, с точностью до направления
• если nz5 = 3f1/2 + f2/2, то все рёбра f1 совпадают по направлению с рёбрами nz5, а там где в f1 стоит 0 - те рёбра совпадают по направлению с f2

про 5cdc тоже можно сделать выводы:

• todo нужно переписать theorem 6.1 через 33pp, и распарсить lemma 2.5 из статьи
• lemma 2.5 - Let H be a subgraph of G. Then G admits a nowhere-zero 4-flow (D, f) with E_{f=2}= E(H) <=> G has a 2-cycle cover with the edges of H covered twice and all other edges covered once.
• [15] W.T. Tutte, On the imbedding of linear graphs in surfaces
• [12] P.D. Seymour, On Tutte’s extension of the four-color problem
• ну не знаю - проще книжку Жанга распарсить ещё раз
• theorem 5.1 - (3,3)-pp <=> (3,3)-edp
• в одну сторону => очевидно: если имели потоки f1,f2, то новые будут (f1+f2)/2, (f1-f2)/2
• в другую <= тоже: если имели потоки f1,f2, то новые будут (f1+f2), (f1-f2)
• theorem 6.1 - 5cdc <=> имеем (4,4)-edp
• в одну сторону => очевидно: вместо циклов рассматриваем 2-потоки f_i, i=1,2,3,4. А циклы были C_i, i=1,2,3,4,5. Рассмотрим новые циклы - C_ij = C_i Δ C_j, f_ij = соответсвующий поток. Тогда f_12+2f2, f_34+2f4 - искомое (4,4)-edp, причём C_5 можно вытащить по несложной логике. TODO: но я в любом случае хочу переписать это всё в (4,4)-pp, а не edp.
• в другую сторону <= по модулю lemma 2.5 тоже очевидно: имеем циклы f1,f2. имеем разбиение рёбер на: A=E_{f1=2}, B=E{f2=2}, C=E_{f1=odd}∪E_{f2=odd}. Юзаем лемму 2.5 - получаем 4 цикла. Если ребро из A ∪ B, то оно покрыто 2 раза. Если оно из E_{f1=odd} ∩ E_{f2=odd}, то оно снова покрыто 2 раза. Ну а оставшиеся - 1 раз, и мы докидываем на них 5ый цикл. TODO: переписать это док-во на (4,4)-pp рельсы.
• TODO: что даёт замена (4,4)-edp на (3,3)-edp? скажем, в плане получаемых nz5 или 5cdc.

Нашёл тут интересного:

• Разложение nz3 в 2 цикла очень простое - в один из них попадают все рёбра с весом 2, а также все рёбра веса 1 по часовой стрелке; во второй - все рёбра веса 2  + рёбра веса 1 против часовой;
• Кажется я догнал как связаны 5cdc и nz5, получаемые из 33pp - можно просто глянуть на веса рёбер в nz5 и ровно такие и кинуть на циклы из 5cdc (а C5 достанется вес 0, например). А это значит что можно проверить гипотезу, что по любому 5cdc можно построить какой-нибудь 33pp или nz5, беру nz5, одному из циклов кидаю вес 0, а на два цикла кидаю вес 1, на оставшиеся два - вес 2 (и ещё надо им как-то перебрать ориентацию), суммирую и проверяю, что получаются nz5 и 33pp.
• так вот, 33pp из 5cdc: пытаемся накинуть потоки, и после этого строим (f1+f2)+(f3+f4) и (f1+f2)-(f3+f4), nz5 = 2*(f1+f2)+(f3+f4)
• Судя по числам, уже в 18.05g1 и в 18.05g2 есть 5cdc,  из которых нельзя напрямую получить 33pp, например: g1: 8544/9476, g2: 8782/9314.

TODO: следующий вопрос - есть ли среди этих 5cdc такие, что C5 - это dominating cycle, или C5 - это dominating circuit (хотя можно ослабить до того, что доминирующим будет любой из циклов, а не конкретно C5).

неослабленный вариант:

g1:

all 5cdc solutions: 9476

with 33pp: 8544

all 5cdc solutions with domcyc: 1532

with 33pp: 1360

relaxed: 1492

all 5cdc solutions with domcirc: 896

with 33pp: 840

relaxed: 880

g2:

all 5cdc solutions: 9314

with 33pp: 8782

all 5cdc solutions with domcyc: 1388

with 33pp: 1338

relaxed: 1376

all 5cdc solutions with domcirc: 818

with 33pp: 792

relaxed: 806

Ну и нормально, остановлюсь на этом, TODO: нарисовать пример и закончить и пойти дальше.

TODO: наверняка здесь ещё будет блок текста про перескоки с одного решения на другое. Через nz5, например. TODO: глянуть такое - фиксирую o5cdc, считаю для каждого nz5 - сколько ему соответствует разных 33pp, и для данного o5cdc выписываю по каждому nz5 сколько у него 33pp. просто глянуть - какие бывают разбросы.

можно ли найти циклы из 5cdc внутри f1 или f2? кажется C5 там точно есть, вокруг которого и строится 33pp; остальных кажется нет, ну или не факт, что будут
todo: можно ли как-то перейти к o5cdc?

todo: дописать
todo: 333pp <=> o5cdc (в одну сторону очевидно, <=, а вот в другую надо подумать ещё)

История всего

Надо где-то собрать историю всего, может правда уже где-то есть такое, но не знаю как гуглить.
Соберу по ссылкам сначала:
https://ru.wikipedia.org/wiki/История_Вселенной
https://en.wikipedia.org/wiki/Geologic_time_scale

хотя вот есть милая диаграмма
https://www.sciencealert.com/timeline-shows-the-entire-history-of-the-universe-and-how-it-ends

Вложение графа Петерсена на торе, часть 2

Узнал из статьи Tim Hsu
Identifying congruence subgroups of the modular group
что можно по перестановкам полурёбер и вершин узнать явно,
будет ли порождаемая подгруппа - конгруэнц, или не будет

пример для графа Петерсена:
E=(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30)
V=(1,3,5)(4,7,9)(10,11,13)(15,14,17)(6,16,19)(2,21,23)(8,27,25)(12,29,24)(18,22,28)(20,30,26)

тогда

L=E * V^-1

1->23->29->20->16->17->28->8->4->

2->5->19->26->27->22->

3->9->13->15->6->

7->25->30->12->10->

11->24->21->18->14->

типа грани

R=E * V

1->21->28->25->20->6->

2->3->7->27->18->15->19->30->24->

4->5->16->14->10->

8->9->11->29->26->

12->13->17->22->23->

те же грани, только в другую сторону обходим

дальше считаем магические числа

N = 90 = 2 * 45 = e * m

1/2 mod 45 = 23

1/5 mod 2 = 1

c: mod e = 0, mod m = 1

то есть c чётно, c = 46

d: mod e = 1, mod m = 0

d нечётно, d = 45

a = L^c, b=R^c, l=L^d, r=R^d

s = l^20 * r ^ 1 * l ^ {-4} * r ^ {-1}

[x,y]=x^-1 y^-1 x y

одно из первых условий того, что мы получим конгруэнц-подгруппу - a commutes with r, то есть

[a,r]=1

можно проверить в системе GAP, что ar и ra дают разные перестановки

Значит, вложение Петерсена не порождает конгруэнц-подгруппу

Вложение графа Петерсена на торе, часть 1

считаю класс смежности подгруппы Гекке
для вложения графа Петерсена в Риманову поверхность с родом 1

TODO: это же какая-то подгруппа модулярной группы? у неё есть какие-то свойства (например, арифметичность)?

TODO
  у октаэдра есть генератор вида
  x*y^-1*x*y*x*y*x^-1*y^-2*x^-1
  особенность, что тут два раза подряд y^-1 (в виде y^-2)
  в генераторах вложения графа Петерсена я такого не заметил, (x или x^-1) чередуются с (y или y^-1)
  интересно проверить для других вложений

f:=FreeGroup("x", "y");
H3:=f/[f.1^2,f.2^3];
hom:=GroupHomomorphismByImages(H3,Group(
(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30),
(1,3,5)(4,7,9)(10,11,13)(15,14,17)(6,16,19)(2,21,23)(8,27,25)(12,29,24)(18,22,28)(20,30,26)),
GeneratorsOfGroup(H3),
[(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30),
(1,3,5)(4,7,9)(10,11,13)(15,14,17)(6,16,19)(2,21,23)(8,27,25)(12,29,24)(18,22,28)(20,30,26)]);

petersen_group:=PreImage(hom,Stabilizer(Image(hom),1));
iso:=IsomorphismFpGroup(petersen_group);

[ <[ [ 1, 1 ] ]|(y*x)^2*y*(x^-1*y^-1)^2*x^-1>,
  <[ [ 2, 1 ] ]|y*x*y^-1*x*y*x^-1*y^-1*x^-1*y*x^-1>,
  <[ [ 3, 1 ] ]|y^-1*x*y*x*y^-1*x^-1*y*x^-1*y^-1*x^-1>,
  <[ [ 4, 1 ] ]|(y^-1*x)^2*(y*x^-1)^3>,
  <[ [ 5, 1 ] ]|(y*x)^2*y^-1*x*(y*x^-1)^2*y>,
  <[ [ 6, 1 ] ]|y*(x*y^-1)^3*x^-1*y^-1*x^-1*y>
 ] -> [ F1, F2, F3, F4, F5, F6 ]


x =
0 -1
1 0

y =
0 -1
1 1

(y*x)^2*y*(x^-1*y^-1)^2*x^-1
F1 = (y@x)@(y@x)@y@(xi@yi)@(xi@yi)@xi
 1 -2
-3  7

y*x*y^-1*x*y*x^-1*y^-1*x^-1*y*x^-1
F2 = y@x@yi@x@y@xi@yi@xi@y@xi
 5 -3
-8  5

y^-1*x*y*x*y^-1*x^-1*y*x^-1*y^-1*x^-1
F3 = yi@x@y@x@yi@xi@y@xi@yi@xi
-5  8
 3 -5

(y^-1*x)^2*(y*x^-1)^3
F4 = (yi@x)@(yi@x)@(y@xi)@(y@xi)@(y@xi)
 7 -2
-3  1

(y*x)^2*y^-1*x*(y*x^-1)^2*y
F5 = (y@x)@(y@x)@yi@x@(y@xi)@(y@xi)@y
-1 -4
 3 11

y*(x*y^-1)^3*x^-1*y^-1*x^-1*y
F6 = y@(x@yi)@(x@yi)@(x@yi)@xi@yi@xi@y
 4  5
-5 -6



f:=FreeGroup("x", "y");
H3:=f/[f.1^2,f.2^3];
hom:=GroupHomomorphismByImages(H3,Group(
(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30),
(1,19,18)(2,3,29)(4,5,26)(6,7,22)(8,9,28)(10,11,30)(12,13,24)(14,15,25)(16,17,27)(20,23,21)),
GeneratorsOfGroup(H3),
[(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30),
(1,19,18)(2,3,29)(4,5,26)(6,7,22)(8,9,28)(10,11,30)(12,13,24)(14,15,25)(16,17,27)(20,23,21)]);

petersen_group:=PreImage(hom,Stabilizer(Image(hom),1));
iso:=IsomorphismFpGroup(petersen_group);

[ <[ [ 1, 1 ] ]|(y*x)^2*(y*x^-1)^3>,
  <[ [ 2, 1 ] ]|y*x*y^-1*x*y*(x^-1*y^-1)^2*x^-1>,
  <[ [ 3, 1 ] ]|y^-1*x*y*x*(y^-1*x^-1)^2*y*x^-1>,
  <[ [ 4, 1 ] ]|(y^-1*x)^2*(y*x^-1)^2*y^-1*x^-1>,
  <[ [ 5, 1 ] ]|(y*x)^2*y^-1*x*(y*x^-1)^2*y>,
  <[ [ 6, 1 ] ]|y*(x*y^-1)^3*x^-1*y^-1*x^-1*y> ]
-> [ F1, F2, F3, F4, F5, F6 ]


F1 = (y@x)@(y@x)@(y@xi)@(y@xi)@(y@xi)
 1 0
-5 1
F2 = y@x@yi@x@y@(xi@yi)@(xi@yi)@xi
-2 5
3 -8
F3 = yi@x@y@x@(yi@xi)@(yi@xi)@y@xi
-7  5
 4 -3
F4 = (yi@x)@(yi@x)@(y@xi)@(y@xi)@yi@xi
-5  7
 2 -3
F5 = (y@x)@(y@x)@yi@x@(y@xi)@(y@xi)@y
-1 -4
 3 11
F6 = y@(x@yi)@(x@yi)@(x@yi)@xi@yi@xi@y
 4  5
-5 -6



пояснение к алгоритму из статьи
He Y-H and Read J (2015) Hecke Groups, Dessins d’Enfants, and the Archimedean Solids. Front. Phys. 3:91. doi: 10.3389/fphy.2015.00091

We can find the generators for a representative of all the conjugacy classes of subgroups of interest using GAP [6, 31].

1. First, we use the permutation data σ_0, σ_1 obtained from each of the Schreier coset graphs (in turn obtained from each of the dessins) to find the group homomorphism by images between the relevant Hecke group and a representative of the conjugacy class of subgroups of interest. 
2. We then use this to define the representative in question.
3. Finally, we use the GAP command IsomorphismFpGroup(G), which returns an isomorphism from the given representative to a finitely presented group isomorphic to that representative. This function first chooses a set of generators of the representative and then computes a presentation in terms of these generators.

Witten theories

Seiberg-Witten theory
Wess-Zumino-Witten theory
Gromov-Witten theory
Hořava-Witten theory
Dijkgraaf-Witten theory

Kapustin-Witten theory

Kontsevich-Witten theory
Donaldson-Witten theory

Vafa-Witten theory

Rozansky-Witten theory

Klebanov-Witten theory

Berkovits-Witten theory

Chern-Simons-Witten theory

Donagi-Witten theory

Morse-Witten theory

Jones-Witten theory

Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory

Гипотеза Грэма-Хэггквиста

А в этом посте буду развивать наработки к гипотезе Грэма-Хэггквиста. Конкретнее, к варианту, который я придумал на основе 2-факторизации.

• Ещё точнее - я хотел закодить глянуть случай k=3, где мы пытаемся как-то что-то там чередовать цепочки.
• Также - вместе с графом мы смотрим на все соответствующие ему Schreier graphs

Наука синхронизации

(Новая рубрика - убираю воду из научпоп статей) В данном случае статья про науку синхронизации, timeline событий, на основе статьи из Quanta:
https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-exotic-patterns-of-synchronization-20190404/
1967 - https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022519367900513?via%3Dihub
1974, a Japanese physicist named Yoshiki Kuramoto saw how to simplify the math. Kuramoto’s model described a population of oscillators (things with rhythms, like metronomes and heartbeats) and showed why coupled oscillators spontaneously synchronize
Kuramoto talk - https://link.springer.com/chapter/10.1007%2FBFb0013365
2001 - https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0210694.pdf
2004 - chimera - https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.93.174102
2012 - Two independent teams realized this chimera state in the lab
2017-2018 - qualitative similarities between the destabilization of chimera states and epileptic seizures -  https://arxiv.org/abs/1710.08219

2014 - seminal paper about clusters - https://www.nature.com/articles/ncomms5079
2017 - oscillators can remotely synchronize even when the oscillators between them are drifting incoherently - https://arxiv.org/pdf/1703.10621.pdf

1990 - chaotic synchronization - https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.64.821
2019 - menagerie of new synchronous states in a network of “nanoelectromechanical oscillators,” or NEMs — essentially miniature electric drumheads - https://science.sciencemag.org/content/363/6431/eaav7932
The researchers documented 16 synchronous states that the system fell into under different initial settings, though many more, rare states might be possible. In many cases, NEMs decoupled from their nearest neighbors and remotely synchronized, vibrating in phase with tiny drumheads elsewhere in the ring. For example, in one pattern, two nearest neighbors oscillated together, but the next pair adopted a different phase; the third pair synced up with the first and the fourth pair with the second. They also found chimeralike states (though it’s hard to prove that such a small system is a true chimera).

Synchronization seems to spring from symmetry
2016 - asymmetry helps stabilize synchronous states - https://arxiv.org/abs/1608.05419
2019 - introducing an asymmetry into a cluster actually strengthens its synchrony - https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.122.058301 (Topological Control of Synchronization Patterns: Trading Symmetry for Stability)

Странные аттракторы 🚜

Здесь будет пост про странные аттракторы.

Зачем? Не знаю, но это красиво. И реально очень странно (неожиданно, что такое существует). А ещё нигде нет нормального толкового гайда по ним (ни в научпопе, ни в математике, хотя см. литературу ниже), который ответил бы на мои наворачивающиеся вопросы.

Например, есть такая известная система диффуров - система Лоренца.
Если начать её моделировать на компе - можно будет увидеть, что часть начальных точек бегает по какому-то подпространству. Выглядит это всё как крылья бабочки.

Теперь FAQ:
- а что это за форма такая странная у аттрактора?
UPD: а вот есть прекрасная статья про формы аттракторов, branched manifolds и кейсы, когда неизвестны их branched manifold'ы - http://www.scholarpedia.org/article/Chaos_topology

Пока что не знаю точно. Пишут, что это фрактал, и что он плоский (двухмерный). Также у него можно посчитать всякие разные размерности:

• Hausdorff dimension (что это?) примерно 2.06 ± 0.01
• correlation dimension (что это?) примерно 2.05 ± 0.01
• Lyapunov dimension (Kaplan-Yorke dimension) (что это?) - а тут есть явная формула! При стандартных величинах получаем 2.401312763583

Но конкретно пока не понимаю - есть ли там дырки (видимо нет), включены туда 2 отталкивающих решения или нет. Можно ли как-то приблизить уравнениями форму одного из крыл бабочки? хз

- а есть ли классификация какая?
Говорят, что все до сих пор (2019) известные странные аттракторы можно классифицировать с помощью bounding tori (что это?)

подвал ссылок:
Knots and dynamics - http://www.icm2006.org/proceedings/Vol_I/15.pdf (2006)
Lorenz and modular flows - http://www.josleys.com/articles/ams_article/Lorenz3.htm (~2006 год; статья Lorenz knots утверждает, что это 2011ый)
Lorenz knots - https://arxiv.org/pdf/1201.0214.pdf (2011)
The Lorenz Attractor, a Paradigm for Chaos - http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/lorenzparadigm-english.pdf (2013)
On the topology of the Lorenz system - https://arxiv.org/pdf/1610.07079.pdf (2016)

Сети Клюмпенхауэра

И первым списком будет самый очевидный по пользе - про сети Клюмпенхауэра (upd: не, уже как-то неочевидно). Потому что про них в рунете вообще ничего нет (upd: уже есть, кстати, в телеграме появились переводы Куда-то пропали). Просто ноль.

(upd: мне стыдно, что я это запостил; наверно я был очень злой когда это писал)

И не то чтобы я тут собираюсь расписать или пояснить подробно с примерами, что это такое и чем оно полезно. Потому что оно мне не кажется супер-полезным.
Но вообще, это типа такая тулза у музыкальных теоретиков. Как я это вижу примерно:

• сначала была тональная музыка, и её анализировали по-всякому, но основная мысль, что есть тоника - главная ступень, а всё остальное ей в том или ином виде подчиняется (например, всякие доминанты и субдоминанты, например, всякие разрешения аккордов);
• потом композиторы придумали атональную музыку, и ... теоретики тоже захотели это проанализировать. Но вопрос - как это делать, когда нет тоники. По-английски это называется post-tonal theories;
• часть этих теорий называется transformation theory - типа 3 идеи:
• пронумеруем все ноты, от 0 до 11 (логично, в математике это называется кольцом вычетов по модулю 12, Z/12Z);
• будем смотреть как музыка преобразуется, скажем, был один аккорд, стал другой - и давайте поймём, как описать фукнцию преобразования одного в другое. Чем-то похоже на функциональные языки программирования, когда рассматриваются функции над функциями над функциями;
• в transformation theory также любят 2 преобразования над рядами нот (хотя они уже и у Баха встречались):
• транспозиция T - когда мы переносим всю последовательность на сколько-то тонов вверх или вниз (типа + в кольце Z/12Z)
• инверсия/обращение (кажется тут нет по-русски термина, а по-английски тоже путаница) I - типа если в исходной мелодии мы поднимались наверх на какой-то интервал, то в новой будем вниз двигаться, и наоборот
• (а в двенадцатитоновой технике/в додекафонии популярны инверсия и ракоход (retrogage row))
• часть transformation theory стала называться сетями Клюмпенхауэра - по-простому это выглядит как набор интервалов, но в виде преобразований между нотами. Например, если у нас есть 3 ноты (aka аккорд), то у нас есть 3 преобразования попарных между этими нотами.
• Казалось бы: и для чего это всё? 
• но дальше есть мысль сравнить построенные сети друг с другом, найти какие-то похожести. А потом сравнить сети сетей и т. д.

Вопросы без ответов:

• как это помогает в понимании, восприятии или восхищении произведений? можно ли научиться слышать/распознавать на слух эти сети? не знаю
• как это помогает в сочинении произведений? непонятно

Итак, список про сети Клюмпенхауэра - какие есть статьи, и какие музыкальные произведения они анализируют (если вообще):

• Lewin, David (1994). "A Tutorial on Klumpenhouwer Networks, Using the Chorale in Schoenberg's Opus 11, No. 2", p.90, Journal of Music Theory, Vol. 38, No. 1 (Spring), pp. 79-101 - вроде как туториал, поэтому можно начинать отсюда. произведение: Arnold Schoenberg - Opus 11, No. 2
• TODO